Ułamki dziesiętne

Październik 28, 2009

 

Ułamek dziesiętny – zapis liczby rzeczywistej  w postaci ułamka, której mianownik jest potęgą liczby 10.

Ułamki dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, za to specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny , który oddziela część całkowitą wartości bezwzględnej liczby od części ułamkowej tej wartości.

Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne:

Aby przedstawić ułamek zwykły w postaci dziesiętnej, można podzielić jego
licznik przez mianownik lub jeśli to możliwe rozszerzyć lub skrócić tak, aby
jego mianownikiem była jedna z liczb 10, 100, 1000 itd., a następnie zapisać go
bez kreski ułamkowej.

 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie – części setne,
trzecie – części tysiączne, czwarte – części dziesięciotysiączne itd.

 

Zmiana ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe:

Aby z postaci dziesiętnej otrzymać postać zwykłą, wystarczy liczbę na prawo od przecinka zapisać w liczniku ułamka, którego mianownik jest potęgą 10 o wykładniku równym liczbie cyfr na prawo od przecinka.

Przykłady:

0{,}345 = \frac{345}{1000} = \frac{69}{200}
-2{,}7342 = -2\frac{7342}{10000} = -2\frac{929}{1250}
Źródło: http://www.wikipedia.org/
http://www.math.edu.pl/ulamki-dziesietne

 

Ułamek

Październik 28, 2009

Ułamek:

– wyrażeniem postaci \tfrac{a}{b}, gdzie a, nazywane licznikiem, oraz b, nazywamy mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera. Iloraz \tfrac{a}{0} jest bowiem nieokreślony.

Liczby wymierne:

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna  jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. 1 + \tfrac{2}{3} staje się 1\tfrac{2}{3} .

Działania na ułamkach:

Dla każdego c \ne 0\; ułamek \tfrac{a}{b} jest równy \tfrac{ac}{bc}. Operację zamiany \tfrac{a}{b} na \tfrac{ac}{bc} nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd},
\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.
Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o takich samych mianownikach należy dodać do siebie tylko liczniki a mianowniki pozostawić bez zmian korzystając z poniższych wzorów:

 

\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m},\quad\quad \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}.
Przykład:

ulamek111lub
a
Jeżeli mianowniki są różne, trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika
wzór:
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd},\quad\quad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}.
Przykład:
b
Źródło:  http://www.wikipedia.org/

dzielenie

Sierpień 5, 2008

Dzielenie to w matematyce operacja zdefiniowana w dowolnym ciele  jako:

\frac{a}{b} = {a}\cdot{b^{-1}}, dla \,{b \neq 0}

gdzie \,{b^{-1}} to element odwrotny do b.

W działaniu tym występują dwa operandy nazywające się dzielną i dzielnikiem. Wynik dzielenia nazywany jest ilorazem.

\frac{a\mbox{ (dzielna)}}{b\mbox{ (dzielnik)}} = x\mbox{ (iloraz)}

Do zapisu operacji dzielenia używa się alternatywnie symboli .

Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzielenie

Mnożenie pisemne liczb całkowitych

Sierpień 5, 2008

Iloczyn dwóch niezerowych liczb jest dodatni, gdy obydwie liczby miały ten sam znak, lub ujemny, jeśli miały różny znak. Jeśli którakolwiek była zerem, wynik również jest zerem.

Chcąc więc pomnożyć dwie liczby całkowite, mnożymy ich wartości bezwzględne a następnie jeśli czynniki miały różny znak, dopisujemy minus przed wynikiem.

Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BCenie

Mnożenie pisemne liczb naturalnych

Sierpień 5, 2008

Poniżej podany jest przykład obliczenia na kartce iloczynu liczb 135\; i 18\;. Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & \ & 1 & 3 & 5 \\ \times & \  & \ & 1 & 8\end{matrix}   \end{matrix}

Mnożymy ostatnią cyfrę drugiej liczby przez kolejne cyfry pierwszej, pisząc wyniki jeden pod drugim, za każdym razem przesunięte o jedną pozycję w lewo. Następnie bierzemy kolejną cyfrę drugiego czynnika i znowu mnożymy przez kolejne cyfry pierwszego czynnika. Wynik zapisujemy przesunięty o jedną pozycję dalej w lewo niż poprzednim razem. Itd. Otrzymujemy:

\begin{matrix}   \underline\begin{matrix}   		    \ & \ & 1 & 3 & 5 & \ & \ \ \ \ \ \ \\  	       \times & \ & \ & 1 & 8 & \ & \    \end{matrix} \\   \underline\begin{matrix}      		      & \ & \ & 4 & 0 & \ \ \ \scriptstyle{(=5\times 8)}\\ 		    + & \ & 2 & 4 & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=3\times 8)}\\ 		    + & \ & 8 & \ & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=1\times 8)}\\ 		    + & \ & \ & 5 & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=5\times 1)}\\ 		    + & \ & 3 & \ & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=3\times 1)}\\ 		    + & 1 & \ & \ & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=1\times 1)}   \end{matrix} \\   \begin{matrix}  		    \ & 2 & 4 & 3 & 0 & \ & \ \ \ \ \ \    \end{matrix} \end{matrix}

Po podsumowaniu uzyskujemy wynik mnożenia:

135\cdot 18=2430\;

Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Mnożenie

Odejmowanie liczb całkowitych

Sierpień 5, 2008

Możliwe są cztery przypadki, różniące się znakiem  odejmowanych liczb:

  • Jeśli obydwie są nieujemne, odejmujemy je tak jak liczby naturalne powyżej. Znak różnicy zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.
  • Jeśli obydwie są ujemne (oznaczmy je -a\; i -b\;), to wynikiem jest różnica ich wartości bezwzględnych a\; i b\; zapisanych w odwrotnej kolejności: (-a)-(-b)=b-a.\; Tu również znak zależy od tego, czy większa jest odjemna, czy odjemnik.
  • Jeśli pierwsza liczba jest nieujemna (a)\; a druga ujemna (-b)\;, to odejmowanie sprowadza się do dodawania ich wartości bezwzględnych : a-(-b)=a+b\;.
  • Jeśli pierwsza liczba jest ujemna (-a)\; a druga nieujemna (b)\;, to odejmowanie sprowadza się do dodania ich wartości bezwzględnych i zmiany znaku wyniku: -a-b=-(a+b)\;.

Zamiast tych reguł wystarczy pamientać jedną: odjąć liczbę b – to znaczy dodać przeciwną do niej liczbę b.

Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Odejmowanie

Odejmowanie pisemne liczb naturalnych

Sierpień 5, 2008

Poniżej podany jest przykład obliczania różnicy dwóch trzycyfrowych liczb: 654\; i 273\;. Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 4 \\ - & 2 & 7 & 3\end{matrix}   \end{matrix}

Cyfrą jedności 654\; jest 4;\; cyfrą jedności 273\; jest 3\;
4-3=1,\; więc na pozycji jedności pod kreską piszemy \;

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 4 \\ - & 2 & 7 & 3\end{matrix}     \\ \;\;\begin{matrix} \ & \ & \ & 1\end{matrix}   \end{matrix}

Cyfrą dziesiątek 654\; jest 5;\; cyfrą dziesiątek 273\; jest 7.\; Ponieważ 5<7\; i wynik wyszedłby ujemny „pożyczamy” 1\; z następnej pozycji. Oznacza to, że teraz dodajemy 10,\; a przy następnej cyfrze odejmiemy 1.\; Mamy zatem 15-7=8;\; piszemy 8\; pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a 1\; pożyczamy z kolumny setek, co można sobie zanotować na boku:

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & -1 & \ & \ \\ \ & 6 & 5 & 4 \\ - & 2 & 7 & 3\end{matrix}     \\ \;\begin{matrix} \ & \ & \ &8 & 1\end{matrix}   \end{matrix}

Pozostała kolumna setek: odejmujemy 6-2-1\; (ten 1 to „pożyczka”) z trzeciej kolumny otrzymując 3,\; piszemy 3\; w kolumnie setek pod kreską:

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & \ -1 & \ \\ \ & 6 & 5 & 4 \\ - & 2 & 7 & 3\end{matrix}     \\ \;\;\;\begin{matrix} \ & 3 &\ \ 8 & 1\end{matrix}   \end{matrix}

otrzymując wynik 654 - 273 = 381.\;

W ten sposób odejmuje się zawsze mniejszą liczbę od większej. Jeśli chcemy odjąć większą od mniejszej, zamieniamy je, odejmujemy a na koniec przed wynikiem stawiamy znak minusa (gdyż wynik będzie wtedy liczbą ujemną ). Na przykład chcąc obliczyć 23-54,\; obliczamy 54-23=31,\; a następnie dostawiamy minus otrzymując 23-54=-31.\;

Ten sam algorytm może służyć do odejmowania liczb w dowolnym systemie pozycyjnym .

Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Odejmowanie

dodawanie ułamków

Sierpień 5, 2008

Dodawanie ułamków

Dla liczb wymiernych \frac{a}{b} i \frac{c}{d} dodawanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

Wówczas można zastosować wzór:

\frac{k}{m}+\frac{l}{m}=\frac{k+l}{m}

Najmniejszym wspólnym mianownikiem, jaki można tu zastosować, jest najmniejszą wspólną wielokrotność mianownika dodawanych ułamków.

Przykład:

\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3\times 3}{4\times 3}+\frac{1\times 2}{6\times 2}=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9+2}{12}=\frac{11}{12}

Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika można wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Dodawanie sprowadza się wtedy do wzoru:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{db}=\frac{ad+cb}{bd}

Przykład:

\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3\times 6}{4\times 6}+\frac{1\times 4}{6\times 4}=\frac{3\times 6+1\times 4}{4\times 6}=\frac{22}{24}=\frac{11}{12}

W przypadku dodawania pisemnego ułamków dziesiętnych  należy przesunąć dodawane liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & \ & \ \\  	\ & 1 & 2, & 5 & \ \\  	+ & \ & 5, & 8 & 1     \end{matrix}     \\ \;\;\begin{matrix} \ & 1 & 8, & 3 & 1\end{matrix}   \end{matrix}

Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dodawanie

Dodawanie liczb całkowitych

Sierpień 5, 2008

Dodawanie liczb całkowitych

Możliwe są trzy przypadki, różniące się znakiem dodawanych liczb:

  • Jeśli obydwie są dodatnie, dodajemy je tak jak liczby naturalne .
  • Jeśli obydwie są ujemne (-a\; i -b),\; to należy dodać ich wartości bezwzględne i zmienić znak: (-a)+(-b)=-(a+b)\;.
  • Jeśli jedna liczba jest dodatnia (a)\; a druga ujemna (-b)\; to dodawanie sprowadza się do odejmowania ich wartości bezwzględnych:  a+(-b)=a-b\;. Należy tu pamiętać, że jeśli a<b\;, to, żeby obliczyć a-b\;, obliczamy b-a\; i bierzemy otrzymany wynik ze znakiem „minus”: a-b=-(b-a)\;.
  • Jeśli jedna z liczb jest zerem, suma jest równa drugiemu składnikowi.

Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dodawanie

dodawanie

Sierpień 5, 2008

Dodawanie jest jednym z czterech podstawowych *działań arytmetycznych. Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą. Dodawanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem plusa (+\;) .

Dodawanie pisemne liczb naturalnych

Aby dodać dwie liczby na kartce, stosuje się sposób pisemny. Poniżej podany jest przykład obliczenia sumy dwóch, trzycyfrowych liczb: 653\; i 274.\; Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix}   \end{matrix}

Cyfrą jedności 653\; jest 3;\; cyfrą jedności 274\; jest 4;\;
3+4=7,\; więc na pozycji jedności pod kreską piszemy \;

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix}     \\ \;\;\begin{matrix} \ & \ & \ & 7\end{matrix}   \end{matrix}

Cyfrą dziesiątek 653\; jest 5;\; cyfrą dziesiątek 274\; jest 7;\;
5+7=12;\; piszemy 2\; pod kreską na kolejnym od prawej miejscu, a 1\; przenosimy do kolumny setek:

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & 1 & \ & \ \\ \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix}     \\ \;\begin{matrix} \ & \ & 2 & 7\end{matrix}   \end{matrix}

Pozostała kolumna setek: dodajemy 1+6+2\; z trzeciej kolumny otrzymując 9,\; piszemy 9\; w kolumnie setek pod kreską:

  \begin{matrix}     \underline\begin{matrix} \ & \ 1 & \ \\ \ & 6 & 5 & 3 \\ + & 2 & 7 & 4\end{matrix}     \\ \;\;\begin{matrix} \ & 9 & 2 & 7\end{matrix}   \end{matrix}

otrzymując wynik 653 + 274 = 927.\;

Ten sam algorytm może służyć do dodawania liczb w dowolnym systemie pozycyjnym.

Źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dodawanie


Follow

Otrzymuj każdy nowy wpis na swoją skrzynkę e-mail.